Matemática discreta Ejemplos

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}]$

Paso 1

Establece la fórmula para obtener la ecuación característica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{4})$

Paso 2

La matriz de identidades o matriz unidad de tamaño $4$ es la matriz cuadrada $4 \times 4$ con unos en la diagonal principal y ceros en los otros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Paso 3

Sustituye los valores conocidos en $p (λ) = determinante (A - λ I_{4})$ .

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Paso 3.1

Sustituye $[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}]$ por $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] - λ I_{4})$

Paso 3.2

Sustituye $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ por $I_{4}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica $- λ$ por cada elemento de la matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.2.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.2.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.3.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.3.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.4

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.4.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.4.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.5

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.5.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.5.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.7

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.7.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.7.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.8

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.8.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.8.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.9

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.9.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.9.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.10

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.10.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.10.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.11

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.12

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.12.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.12.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.13

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.13.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.13.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.14

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.14.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.14.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.15

Multiplica $- λ \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.15.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.15.2

Multiplica $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Paso 4.1.2.16

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Paso 4.2

Suma los elementos correspondientes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 + 0 & - 1 + 0 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 2 - λ & 5 + 0 \\ - 1 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Paso 4.3

Simplify each element.

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Paso 4.3.1

Suma $2$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 + 0 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 2 - λ & 5 + 0 \\ - 1 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.2

Suma $- 1$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 & - 2 + 0 \\ 0 + 0 & 0 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 2 - λ & 5 + 0 \\ - 1 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.3

Suma $- 2$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 + 0 & 0 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 2 - λ & 5 + 0 \\ - 1 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.4

Suma $0$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 2 - λ & 5 + 0 \\ - 1 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.5

Resta $λ$ de $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 2 - λ & 5 + 0 \\ - 1 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.6

Suma $0$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & - λ & 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 2 - λ & 5 + 0 \\ - 1 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.7

Suma $0$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 2 - λ & 5 + 0 \\ - 1 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.8

Suma $1$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 1 & - 1 + 0 & 2 - λ & 5 + 0 \\ - 1 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.9

Suma $- 1$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 - λ & 5 + 0 \\ - 1 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.10

Suma $5$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 - λ & 5 \\ - 1 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.11

Suma $- 1$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 - λ & 5 \\ - 1 & 1 + 0 & - 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.12

Suma $1$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 - λ & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Paso 4.3.13

Suma $- 1$ y $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 2 - λ & 5 \\ - 1 & 1 & - 1 & 2 - λ \end{array}]$

Paso 5

Find the determinant.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $2$ by its cofactor and add.

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Paso 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Paso 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 5.1.3

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 & - 2 \\ - 1 & 2 - λ & 5 \\ 1 & - 1 & 2 - λ \end{array} |$

Paso 5.1.4

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 2 & - 1 & - 2 \\ - 1 & 2 - λ & 5 \\ 1 & - 1 & 2 - λ \end{array} |$

Paso 5.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & - 1 & - 2 \\ 1 & 2 - λ & 5 \\ - 1 & - 1 & 2 - λ \end{array} |$

Paso 5.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$- λ | \begin{array}{c} 1 - λ & - 1 & - 2 \\ 1 & 2 - λ & 5 \\ - 1 & - 1 & 2 - λ \end{array} |$

Paso 5.1.7

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & - 1 & 5 \\ - 1 & 1 & 2 - λ \end{array} |$

Paso 5.1.8

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & - 1 & 5 \\ - 1 & 1 & 2 - λ \end{array} |$

Paso 5.1.9

The minor for $a_{24}$ is the determinant with row $2$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 - λ \\ - 1 & 1 & - 1 \end{array} |$

Paso 5.1.10

Multiply element $a_{24}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 - λ \\ - 1 & 1 & - 1 \end{array} |$

Paso 5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 2 & - 1 & - 2 \\ - 1 & 2 - λ & 5 \\ 1 & - 1 & 2 - λ \end{array} | - λ | \begin{array}{c} 1 - λ & - 1 & - 2 \\ 1 & 2 - λ & 5 \\ - 1 & - 1 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & - 1 & 5 \\ - 1 & 1 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 - λ \\ - 1 & 1 & - 1 \end{array} |$

Paso 5.2

Multiplica $0$ por $| \begin{array}{c} 2 & - 1 & - 2 \\ - 1 & 2 - λ & 5 \\ 1 & - 1 & 2 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 - λ | \begin{array}{c} 1 - λ & - 1 & - 2 \\ 1 & 2 - λ & 5 \\ - 1 & - 1 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & - 1 & 5 \\ - 1 & 1 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 - λ \\ - 1 & 1 & - 1 \end{array} |$

Paso 5.3

Multiplica $0$ por $| \begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 2 \\ 1 & - 1 & 5 \\ - 1 & 1 & 2 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 - λ | \begin{array}{c} 1 - λ & - 1 & - 2 \\ 1 & 2 - λ & 5 \\ - 1 & - 1 & 2 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 - λ \\ - 1 & 1 & - 1 \end{array} |$

Paso 5.4

Multiplica $0$ por $| \begin{array}{c} 1 - λ & 2 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 - λ \\ - 1 & 1 & - 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 - λ | \begin{array}{c} 1 - λ & - 1 & - 2 \\ 1 & 2 - λ & 5 \\ - 1 & - 1 & 2 - λ \end{array} | + 0 + 0$

Paso 5.5

Evalúa $| \begin{array}{c} 1 - λ & - 1 & - 2 \\ 1 & 2 - λ & 5 \\ - 1 & - 1 & 2 - λ \end{array} |$ .

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Paso 5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 5.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 - λ & 5 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} |$

Paso 5.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 5 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} |$

Paso 5.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} |$

Paso 5.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} |$

Paso 5.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Paso 5.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Paso 5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 5 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 0$

Paso 5.5.2

Evalúa $| \begin{array}{c} 2 - λ & 5 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} |$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.5.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) ((2 - λ) (2 - λ) - (- 1 \cdot 5)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 0$

Paso 5.5.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.5.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.2.2.1.1

Expande $(2 - λ) (2 - λ)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.5.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (2 (2 - λ) - λ (2 - λ) - (- 1 \cdot 5)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 0$

Paso 5.5.2.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (2 \cdot 2 + 2 (- λ) - λ (2 - λ) - (- 1 \cdot 5)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 0$

Paso 5.5.2.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (2 \cdot 2 + 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 5)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 0$

Paso 5.5.2.2.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.5.2.2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.2.2.1.2.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (4 + 2 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 5)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 0$

Paso 5.5.2.2.1.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (4 - 2 λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 5)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 0$

Paso 5.5.2.2.1.2.1.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ - λ (- λ) - (- 1 \cdot 5)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 0$

Paso 5.5.2.2.1.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 1 \cdot 5)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 0$

Paso 5.5.2.2.1.2.1.5

Multiplica $λ$ por $λ$ sumando los exponentes.

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Paso 5.5.2.2.1.2.1.5.1

Mueve $λ$ .

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 1 \cdot 5)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 0$

Paso 5.5.2.2.1.2.1.5.2

Multiplica $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 5)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 0$

Paso 5.5.2.2.1.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ + 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 5)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 0$

Paso 5.5.2.2.1.2.1.7

Multiplica $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (4 - 2 λ - 2 λ + λ^{2} - (- 1 \cdot 5)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 0$

Paso 5.5.2.2.1.2.2

Resta $2 λ$ de $- 2 λ$ .

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (4 - 4 λ + λ^{2} - (- 1 \cdot 5)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 0$

Paso 5.5.2.2.1.3

Multiplica $- (- 1 \cdot 5)$ .

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Paso 5.5.2.2.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (4 - 4 λ + λ^{2} - - 5) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 0$

Paso 5.5.2.2.1.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (4 - 4 λ + λ^{2} + 5) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 0$

Paso 5.5.2.2.2

Suma $4$ y $5$ .

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (- 4 λ + λ^{2} + 9) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 0$

Paso 5.5.2.2.3

Reordena $- 4 λ$ y $λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 9) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 0$

Paso 5.5.3

Evalúa $| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} |$ .

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Paso 5.5.3.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 9) + 1 (1 (2 - λ) - (- 1 \cdot 5)) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 0$

Paso 5.5.3.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.5.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.3.2.1.1

Multiplica $2 - λ$ por $1$ .

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 9) + 1 (2 - λ - (- 1 \cdot 5)) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 0$

Paso 5.5.3.2.1.2

Multiplica $- (- 1 \cdot 5)$ .

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Paso 5.5.3.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 9) + 1 (2 - λ - - 5) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 0$

Paso 5.5.3.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 9) + 1 (2 - λ + 5) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 0$

Paso 5.5.3.2.2

Suma $2$ y $5$ .

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 9) + 1 (- λ + 7) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 0$

Paso 5.5.4

Evalúa $| \begin{array}{c} 1 & 2 - λ \\ - 1 & - 1 \end{array} |$ .

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Paso 5.5.4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 9) + 1 (- λ + 7) - 2 (1 \cdot - 1 - - (2 - λ))) + 0 + 0$

Paso 5.5.4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.4.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 9) + 1 (- λ + 7) - 2 (- 1 - - (2 - λ))) + 0 + 0$

Paso 5.5.4.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 9) + 1 (- λ + 7) - 2 (- 1 - (- 1 \cdot 2 - - λ))) + 0 + 0$

Paso 5.5.4.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 9) + 1 (- λ + 7) - 2 (- 1 - (- 2 - - λ))) + 0 + 0$

Paso 5.5.4.2.1.4

Multiplica $- - λ$ .

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Paso 5.5.4.2.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 9) + 1 (- λ + 7) - 2 (- 1 - (- 2 + 1 λ))) + 0 + 0$

Paso 5.5.4.2.1.4.2

Multiplica $λ$ por $1$ .

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 9) + 1 (- λ + 7) - 2 (- 1 - (- 2 + λ))) + 0 + 0$

Paso 5.5.4.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 9) + 1 (- λ + 7) - 2 (- 1 - - 2 - λ)) + 0 + 0$

Paso 5.5.4.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 9) + 1 (- λ + 7) - 2 (- 1 + 2 - λ)) + 0 + 0$

Paso 5.5.4.2.2

Suma $- 1$ y $2$ .

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 9) + 1 (- λ + 7) - 2 (1 - λ)) + 0 + 0$

Paso 5.5.4.2.3

Reordena $1$ y $- λ$ .

$p (λ) = 0 - λ ((1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 9) + 1 (- λ + 7) - 2 (- λ + 1)) + 0 + 0$

Paso 5.5.5

Simplifica el determinante.

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Paso 5.5.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.5.1.1

Expande $(1 - λ) (λ^{2} - 4 λ + 9)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$p (λ) = 0 - λ (1 λ^{2} + 1 (- 4 λ) + 1 \cdot 9 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 9 + 1 (- λ + 7) - 2 (- λ + 1)) + 0 + 0$

Paso 5.5.5.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.5.1.2.1

Multiplica $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = 0 - λ (λ^{2} + 1 (- 4 λ) + 1 \cdot 9 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 9 + 1 (- λ + 7) - 2 (- λ + 1)) + 0 + 0$

Paso 5.5.5.1.2.2

Multiplica $- 4 λ$ por $1$ .

$p (λ) = 0 - λ (λ^{2} - 4 λ + 1 \cdot 9 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 9 + 1 (- λ + 7) - 2 (- λ + 1)) + 0 + 0$

Paso 5.5.5.1.2.3

Multiplica $9$ por $1$ .

$p (λ) = 0 - λ (λ^{2} - 4 λ + 9 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 9 + 1 (- λ + 7) - 2 (- λ + 1)) + 0 + 0$

Paso 5.5.5.1.2.4

Multiplica $λ$ por $λ^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.5.5.1.2.4.1

Mueve $λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 - λ (λ^{2} - 4 λ + 9 - (λ^{2} λ) - λ (- 4 λ) - λ \cdot 9 + 1 (- λ + 7) - 2 (- λ + 1)) + 0 + 0$

Paso 5.5.5.1.2.4.2

Multiplica $λ^{2}$ por $λ$ .

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Paso 5.5.5.1.2.4.2.1

Eleva $λ$ a la potencia de $1$ .

$p (λ) = 0 - λ (λ^{2} - 4 λ + 9 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 4 λ) - λ \cdot 9 + 1 (- λ + 7) - 2 (- λ + 1)) + 0 + 0$

Paso 5.5.5.1.2.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$p (λ) = 0 - λ (λ^{2} - 4 λ + 9 - λ^{2 + 1} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 9 + 1 (- λ + 7) - 2 (- λ + 1)) + 0 + 0$

Paso 5.5.5.1.2.4.3

Suma $2$ y $1$ .

$p (λ) = 0 - λ (λ^{2} - 4 λ + 9 - λ^{3} - λ (- 4 λ) - λ \cdot 9 + 1 (- λ + 7) - 2 (- λ + 1)) + 0 + 0$

Paso 5.5.5.1.2.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = 0 - λ (λ^{2} - 4 λ + 9 - λ^{3} - 1 \cdot - 4 λ \cdot λ - λ \cdot 9 + 1 (- λ + 7) - 2 (- λ + 1)) + 0 + 0$

Paso 5.5.5.1.2.6

Multiplica $λ$ por $λ$ sumando los exponentes.

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Paso 5.5.5.1.2.6.1

Mueve $λ$ .

$p (λ) = 0 - λ (λ^{2} - 4 λ + 9 - λ^{3} - 1 \cdot - 4 (λ \cdot λ) - λ \cdot 9 + 1 (- λ + 7) - 2 (- λ + 1)) + 0 + 0$

Paso 5.5.5.1.2.6.2

Multiplica $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = 0 - λ (λ^{2} - 4 λ + 9 - λ^{3} - 1 \cdot - 4 λ^{2} - λ \cdot 9 + 1 (- λ + 7) - 2 (- λ + 1)) + 0 + 0$

Paso 5.5.5.1.2.7

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$p (λ) = 0 - λ (λ^{2} - 4 λ + 9 - λ^{3} + 4 λ^{2} - λ \cdot 9 + 1 (- λ + 7) - 2 (- λ + 1)) + 0 + 0$

Paso 5.5.5.1.2.8

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$p (λ) = 0 - λ (λ^{2} - 4 λ + 9 - λ^{3} + 4 λ^{2} - 9 λ + 1 (- λ + 7) - 2 (- λ + 1)) + 0 + 0$

Paso 5.5.5.1.3

Suma $λ^{2}$ y $4 λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 - λ (5 λ^{2} - 4 λ + 9 - λ^{3} - 9 λ + 1 (- λ + 7) - 2 (- λ + 1)) + 0 + 0$

Paso 5.5.5.1.4

Resta $9 λ$ de $- 4 λ$ .

$p (λ) = 0 - λ (5 λ^{2} - 13 λ + 9 - λ^{3} + 1 (- λ + 7) - 2 (- λ + 1)) + 0 + 0$

Paso 5.5.5.1.5

Multiplica $- λ + 7$ por $1$ .

$p (λ) = 0 - λ (5 λ^{2} - 13 λ + 9 - λ^{3} - λ + 7 - 2 (- λ + 1)) + 0 + 0$

Paso 5.5.5.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = 0 - λ (5 λ^{2} - 13 λ + 9 - λ^{3} - λ + 7 - 2 (- λ) - 2 \cdot 1) + 0 + 0$

Paso 5.5.5.1.7

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$p (λ) = 0 - λ (5 λ^{2} - 13 λ + 9 - λ^{3} - λ + 7 + 2 λ - 2 \cdot 1) + 0 + 0$

Paso 5.5.5.1.8

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$p (λ) = 0 - λ (5 λ^{2} - 13 λ + 9 - λ^{3} - λ + 7 + 2 λ - 2) + 0 + 0$

Paso 5.5.5.2

Resta $λ$ de $- 13 λ$ .

$p (λ) = 0 - λ (5 λ^{2} - 14 λ + 9 - λ^{3} + 7 + 2 λ - 2) + 0 + 0$

Paso 5.5.5.3

Suma $- 14 λ$ y $2 λ$ .

$p (λ) = 0 - λ (5 λ^{2} - 12 λ + 9 - λ^{3} + 7 - 2) + 0 + 0$

Paso 5.5.5.4

Suma $9$ y $7$ .

$p (λ) = 0 - λ (5 λ^{2} - 12 λ - λ^{3} + 16 - 2) + 0 + 0$

Paso 5.5.5.5

Resta $2$ de $16$ .

$p (λ) = 0 - λ (5 λ^{2} - 12 λ - λ^{3} + 14) + 0 + 0$

Paso 5.5.5.6

Mueve $- 12 λ$ .

$p (λ) = 0 - λ (5 λ^{2} - λ^{3} - 12 λ + 14) + 0 + 0$

Paso 5.5.5.7

Reordena $5 λ^{2}$ y $- λ^{3}$ .

$p (λ) = 0 - λ (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 12 λ + 14) + 0 + 0$

Paso 5.6

Simplifica el determinante.

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Paso 5.6.1

Combina los términos opuestos en $0 - λ (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 12 λ + 14) + 0 + 0$ .

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Paso 5.6.1.1

Resta $λ (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 12 λ + 14)$ de $0$ .

$p (λ) = - λ (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 12 λ + 14) + 0 + 0$

Paso 5.6.1.2

Suma $- λ (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 12 λ + 14)$ y $0$ .

$p (λ) = - λ (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 12 λ + 14) + 0$

Paso 5.6.1.3

Suma $- λ (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 12 λ + 14)$ y $0$ .

$p (λ) = - λ (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 12 λ + 14)$

Paso 5.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$p (λ) = - λ (- λ^{3}) - λ (5 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 14$

Paso 5.6.3

Simplifica.

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Paso 5.6.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (5 λ^{2}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 14$

Paso 5.6.3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - 1 \cdot 5 λ \cdot λ^{2} - λ (- 12 λ) - λ \cdot 14$

Paso 5.6.3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - 1 \cdot 5 λ \cdot λ^{2} - 1 \cdot - 12 λ \cdot λ - λ \cdot 14$

Paso 5.6.3.4

Multiplica $14$ por $- 1$ .

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - 1 \cdot 5 λ \cdot λ^{2} - 1 \cdot - 12 λ \cdot λ - 14 λ$

Paso 5.6.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.6.4.1

Multiplica $λ$ por $λ^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.6.4.1.1

Mueve $λ^{3}$ .

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - 1 \cdot 5 λ \cdot λ^{2} - 1 \cdot - 12 λ \cdot λ - 14 λ$

Paso 5.6.4.1.2

Multiplica $λ^{3}$ por $λ$ .

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Paso 5.6.4.1.2.1

Eleva $λ$ a la potencia de $1$ .

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - 1 \cdot 5 λ \cdot λ^{2} - 1 \cdot - 12 λ \cdot λ - 14 λ$

Paso 5.6.4.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - 1 \cdot 5 λ \cdot λ^{2} - 1 \cdot - 12 λ \cdot λ - 14 λ$

Paso 5.6.4.1.3

Suma $3$ y $1$ .

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ^{4} - 1 \cdot 5 λ \cdot λ^{2} - 1 \cdot - 12 λ \cdot λ - 14 λ$

Paso 5.6.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = 1 λ^{4} - 1 \cdot 5 λ \cdot λ^{2} - 1 \cdot - 12 λ \cdot λ - 14 λ$

Paso 5.6.4.3

Multiplica $λ^{4}$ por $1$ .

$p (λ) = λ^{4} - 1 \cdot 5 λ \cdot λ^{2} - 1 \cdot - 12 λ \cdot λ - 14 λ$

Paso 5.6.4.4

Multiplica $λ$ por $λ^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.6.4.4.1

Mueve $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{4} - 1 \cdot 5 (λ^{2} λ) - 1 \cdot - 12 λ \cdot λ - 14 λ$

Paso 5.6.4.4.2

Multiplica $λ^{2}$ por $λ$ .

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Paso 5.6.4.4.2.1

Eleva $λ$ a la potencia de $1$ .

$p (λ) = λ^{4} - 1 \cdot 5 (λ^{2} λ^{1}) - 1 \cdot - 12 λ \cdot λ - 14 λ$

Paso 5.6.4.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$p (λ) = λ^{4} - 1 \cdot 5 λ^{2 + 1} - 1 \cdot - 12 λ \cdot λ - 14 λ$

Paso 5.6.4.4.3

Suma $2$ y $1$ .

$p (λ) = λ^{4} - 1 \cdot 5 λ^{3} - 1 \cdot - 12 λ \cdot λ - 14 λ$

Paso 5.6.4.5

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$p (λ) = λ^{4} - 5 λ^{3} - 1 \cdot - 12 λ \cdot λ - 14 λ$

Paso 5.6.4.6

Multiplica $λ$ por $λ$ sumando los exponentes.

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Paso 5.6.4.6.1

Mueve $λ$ .

$p (λ) = λ^{4} - 5 λ^{3} - 1 \cdot - 12 (λ \cdot λ) - 14 λ$

Paso 5.6.4.6.2

Multiplica $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = λ^{4} - 5 λ^{3} - 1 \cdot - 12 λ^{2} - 14 λ$

Paso 5.6.4.7

Multiplica $- 1$ por $- 12$ .

$p (λ) = λ^{4} - 5 λ^{3} + 12 λ^{2} - 14 λ$

Paso 6

Establece el polinomio característico igual a $0$ para obtener los valores propios $λ$ .

$λ^{4} - 5 λ^{3} + 12 λ^{2} - 14 λ = 0$

Paso 7

Resuelve $λ$

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Paso 7.1

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$λ \approx 0, 2.43287625$